Representasi Dasar Pemikiran Dunia Matematik

Oleh : Andri Indrawan

Salam silaturahim dan pencerahan ……

Suatu susunan objek (di dalamnya terpadat proses perhitungan dan penyeleksian) yang senantiasa tidak memperhatikan urutan dari setiap elemen-elemen pembentuknya, dalam dunia matematika itu disebut dengan kombinasi, sedangkan permutasi dapat katakan sama namun untuk urutan dari setiap elemen pembentuk objeknya itu diperhatikan. Dikatakan pula di sana bahwa pada setiap objek S (S adalah simbol dari suatu himpunan) dapat dipartisi menjadi beberapa himpunan bagian s1, s2, … , sn yang dimana banyaknya elemen di S sama dengan jumlah dari elemen-elemen s1, s2, … , sn nya, yap kurang lebih demikian.

Saya ambil contoh, sesuai kesanggupan saya :

S = {1, 2, 3, 4} dipartisi menjadi s1 {1, 2}, s2 {3}, dan s3 {4} dimana s1, s2 dan s3 itu – seperti yang dapat dilihat – , merupakan himpunan-himpunan bagian dari S. Jumlah elemen-elemen himpunan bagiannya itu = jumlah elemen yang ada di S yaitu 4.

Membicarakan Partisi atau lebih akrabnya saya menyebutnya dengan pembagian, bagi-pembagian mengingatkan saya kepada perdebatan ilmiah yang dilakukan oleh kedua filisuf hebat yaitu Aristoteles yang dikenal dengan peletak dasar logika dan Demokritus penemu teori spekulatifnya yaitu a-tom – .

Sebelum kesana, alasan saya membicarakan ini ialah bahwa yang namanya matematika (filsafat terapan menurut saya) merupakan titik-tolak metoda berpikir rasional-analitik para pakar ilmu pengetahuan (mungkin juga termasuk kebanyakan kita) dari sejak awal evolusinya hingga kini dengan segala kehebatan dan manfaatnya. Pemahaman saya pun mengenai matematika ini lebih kepada upaya pengungkapan-pengungkapan kualitas dan identitas dari sesuatu yang ada termasuk semesta alam melalui simbol-simbol dan aturan main didalamnya (ex: angka-angka, bilangan, rumus, aksioma, teorema, dan lain-lain), makanya tak aneh pula kenapa pemikir sekaligus matematikawan sekaliber Phytagoras menyatakan suatu pertanyaan seperti Apakah matematika berada di pusat semesta ??. Selain itu bapak Descrates yang dikenal sebagai peletak filsafat modern dengan metoda-pengetahuannya dan penemu teori Geometri-analitik, senantiasa ber-filsofi terhadap seuatu yang ada, semesta dan dirinya.

Begitu pula dengan perdebatan-ilmiah Aritoteles dan Demokritus sesudahnya, melalui fokus pemikiran terhadap pertanyaan mendasar Apa penyusun terkecil alam semesta ini ??. Perdebatan ilmiah yang saya maksud lebih kepada sudut pandangnya kedua filisuf tersebut terhadap kebendaan-alam semesta. Aritoteles menyatakan melalui teori materi rapat nya, bahwa benda tidak tersusun dari satuan-satuan kecil, melainkan sesuatu yang solid dan dapat dibagi-bagi oleh pembagi, atau dengan bahasa saya sehari-hari bahwa harddisk tidak terdiri dari satuan-satuan atau himpunan-himpunan bagian yang lebih kecil, melainkan solid dan dapat dipartisi oleh user (partisi disini bukan secara logic melainkan benar-benar di partisi!). Pandangan beliau ini dapat saya pahami melalui pemikirannya mengenai tahu akan sesuatu/ realita yang dapat dinyatakan bahwa realitas tertinggi itu pengalaman-empiris atau apa yang ada-nyata itu adalah apa yang kita lihat. Lalu bagaimana dengan Demokritus ?

Demokritus memandang lain, ia menyatakan melalui teori materi tidak rapat nya, bahwa benda itu tersusun dari atom-atom ( a tidak dan tom dibagi) yang terdapat kekosongan diantaranya sedangkan atom itu sendiri materi padat (tidak dapat dibagi dan tidak ada perantara didalamnya), atau dapat dipahami bahwa benda tersusun oleh bagian-bagian yang dimana kekosongan diantaranya itu berfungsi sebagai pengait atau perekat, sehingga apabila suatu benda itu terbagi maka hal itu dikarenakan terputusnya pengait yang ada tersebut oleh pembagi, namun untuk saya timbul pertanyaan Kenapa diantara atom-atom tersebut yang terdapat kekosongan diantaranya dapat mengait antara satu dengan lainnya, bagaimana dan adakah yang mengaitkannya, jika ada siapa ? mungkinkah Tuhan ??.

Kalau kita merujuk kepada penjelasan sebab-akibat, katakanlah ada suatu benda misalnya harddisk. Atom-atom pembentuk harddisk tersebut dikatakan dengan sebab material , bentuk dengan segala atributnya dikatakan sebab formal dan kegunaan atau fungsi-manfaat dari harddisk tersebut dikatakan sebab final, sedangkan untuk si perancang, penemu dan pencipta harddisk tersebut disebut dengan sebab efisien. Jika untuk harddisk sebab efisiennya adalah si perancang tadi, lalu bagaimana dengan a-tom itu sendiri, apa sebab efisiennya ? mungkinkah itu Tuhan ??.

Yang jelas a tom yang dijelaskan Demokritus tesebut hanya merupakan pemodelan dalam benak akan sesuatu sebagai penyusun dari benda/ kebendaan. Yap kalau salah satu senior saya – dalam salah satu organisasi yang saya ikuti – malah mengungkapkan ekspresinya melalui salah satu karyanya[1], mengenai perbedaan sudut pandang kedua filusuf tersebut dengan pernyataan seperti berikut “Bagi para fisikawan titik itu adalah ‘.’, sedangkan bagi matematikawan bukanlah ‘.’ sebab titik itu tidak berdimensi sedangkan ‘.’ sebaliknya yaitu berdimensi?.

Kembali dengan partisi dari suatu himpunan seperti yang sudah saya singgung dan contohkan dengan sederhana diatas, sudi kiranya kita menengok kembali ungkapan matematik tersebut, partisi. Partisi atau pembagian dapat dikatakan juga sebagai himpunan bagian, atau partisi = himpunan bagian (namun tidak berlaku sebaliknya) dari objek S dimana jika dan hanya jika antara s1, s2, … , sn yang merupakan himpunan-himpunan bagiannya ketika digabungkan tidak memiliki irisan atau dapat memiliki irisan jika dan hanya jika irisannya adalah himpunan kosong dengan banyak elemen yang ada di S sama dengan jumlah elemen-elemen dari s1, s2, … , sn .

Contoh :

S = {1, 2, 3, 4} dipartisi menjadi s1 {1, 2, 3}, s2 {2, 3, 4}, dan s3 {4} dimana s1, s2 dan s3 itu merupakan himpunan-himpunan bagian dari S.

Untuk s1 {1, 2, 3}, s2 {2, 3, 4}, dan s3 {4} betul adanya bahwa itu semua merupakan himpunan bagian dari S, karena setiap elemen yang ada di s1, s2 dan s3 Є dari S dan setiap s1, s2 dan s3 subset dari S. tetapi belum tentu benar untuk s1, s2 dan s3 merupakan partisi dari S kerena himpunan bagian yang ada jika digabungkan jumlah elemen yang dimiliki oleh s1, s2 dan s3 adalah 7 tidak sama dengan banyaknya elemen di S yaitu 4 dan antara s1 dengan s2 memiliki irisan elemen {2, 3} begitu pula antara s2 dengan s3 memiliki irisan elemen {4}.

Berbeda dengan s1 {1, 2, 3} dan s3 {4} ketika digabungkan bahwa benar s1 dan s3 adalah himpunan bagian dari S , karena setiap elemen yang ada di s1 dan s3 Є dari S dan setiap s1 dan s3 subset dari S serta benar pula partisi karena jumlah elemen yang dimiliki oleh s1 dan s3 sama dengan banyaknya elemen di S yaitu 4 dan walaupun antara s1 dengan s3 memiliki irisan, irisannya adalah himpunan kosong. Nah! Ada yang menarik disini bagi saya, khususnya himpunan kosong yang digunakan sebagai perantara-pengait antara himpunan bagian dari paritisi, bagi saya ini suatu hal yang patut dikaji, bagaimana dengan kawan-kawan – apa itu himpunan kosong?– , Mau ?.

3 Responses

  1. wah, penulisan kata “refresentasi”-nya salah besar tu mas, harusnya representasi. Saran saya, jgn suka menggunakan jargon2 ala birokrat, lagian kalau menggunakan istilah2 rumit, bisa jadi blog kita akan sepi dari pengunjung, dan ini mengakibatkan tidak adanya silaturahmi dan saling sharing ilmu.

    Maaf kalau agak kurang sopan/tdk enak didengar.
    Salam,.

  2. wah terima kasih mas arris_, atas koreksinya saya perbaiki akan tulisan saya tersebut.
    bukannya saya sok birokratis, bukankah bahasa itu “rumah ada”, dan setiap dunia memiliki bahasanya masing-masing.
    sebenarnya dalam penggunaan kata tersebut, tidak secuilpun bermaksud demikian, bahkan hal itu saya dasari dari sebuah kata-kata yang saya pahami, namun sekali lagi pertimbangan sosiologis dan ketercapaiannya berbagi dan bertukar pikiran itu lebih utama. Ok, hal ini langsung saya tindak lanjuti. sekali lagi terima kasih mas Arris_.

  3. ehm coba deh bandingin ama yang ini http://korkomupi.blogspot.com/

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: